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mの置き換え理由は?

KSさん(2013/06/25)
降水過程での雨滴の落下速度の質問です。
Hxx年度第1回、問5です。
mg=ρV2πr2Cd/2 の式の変形で
V2=mg/(ρπr2Cd/2) として
落下速度Vの2乗は、雨滴の半径rの2乗に反比例する。
と考えるのはなぜ間違いなのですか。

一見良さそうですが、比例(反比例)というためには、 Vとr以外の文字はすべて、計算の途中で数値が変わらない「定数」でなければなりません。
しかし、水滴の質量m は定数ではなく、 半径r によって数値が変化する変数です。
水滴の半径が大きくなれば、水滴の質量も大きくなってしまいますからね。
だから、m を消して、 r との関係を式の中で表現しなければならないのです。

実際の問題はこうでした。
(丸数字はパソコンの機種によっては文字化けするので[1]と記載します)
直径1mm程度の雨滴の落下速度(終端速度)について述べた次の文章の空欄()を埋める数値として正しいものを、下記の[1]〜[5]の中から選べ。

空気中を落下する雨滴の落下速度は、
   雨滴に働く重力(mg)と
  逆向きに働く抵抗力(ρV2πr2Cd/2) との釣り合いを表す次式から求められる。
    mg=ρV2πr2Cd/2
ここで、mは雨滴の質量、 rは雨滴の半径、 Vは落下速度、 Cdは空気の抵抗係数 gは重力加速度、 ρは空気の密度である。
この式を使って大きさの異なる雨滴の落下速度を比較すると、雨滴の半径が2倍になったときの雨滴の落下速度は約(   )倍になる。ただし、空気の密度、重力加速度、空気の抵抗係数は一定とする。
[1]0.5  [2]0.7  [3]1.4  [4]2  [5]4
与えれた式を変形して、KSさんと同じ形にします。
そこで、V2=mg/(ρπr2Cd/2)に m=ρ(4/3)πr3 を代入すると
 V2=(4/3)πr3ρg/(ρπr2Cd/2)
   =(8/3)(2/Cd)gr ここで、定数A=(8/3)(2/Cd)g とおくと
  V2=Ar
Vとr以外はすべて定数になりますから、 Vの2乗はr に比例すると言えるようになります。
もっと分かりやすい表現なら、V はr のルートに比例するとなります。
したがって正解は、√2に相当する[3]1.4になります。

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